梯度的物理意义就是小球从山顶向下滚动,滚动的方向就是负梯度方向。小球滚动的方向是由重力和摩擦力共同来决定的,这个合力的方向和大小是个向量,这个向量就是梯度。

向量只有大小和方向,与坐标系无关。如果想测量小球向下滚动的梯度,以小山为研究对象,任何角度勾画出一个坐标系都可以。即便坐标系换了角度,投影到X,Y轴的偏导可能不一样,但是梯度是不变的。虽然梯度不变,但是梯度分解到各个坐标轴上的偏导是一种此消彼长的过程。

梯度是偏导集合而成的向量,而偏导可以看做是梯度在各个坐标轴上的投影。